Muss der Vermieter auf dem Übergabeprotokoll für die Wohnung unterschreiben?

Ja, das Übergabeprotokoll ist nur mit Unterschrift des Vermieters / Verwalters glaubwürdig / gültig.
Anstelle der Unterschrift ist auch der Mietvertrag, wenn dieser von beiden Parteien unterzeichnet und mit Angabe der Zählerstände mit Wohnungsübergabe versehen ist, zulässig.